Este texto enfoca a invenção histórica do Nônio, instrumento destinado a medir, com precisão, as frações em uma escala. Inventado por Pedro Nunes, em meio à problemática do desenvolvimento das grandes navegações portuguesas do século XVI, seu aperfeiçoamento por Clavius e seu desenvolvimento por Vernier, conduziu à criação do paquímetro. No ano de 2002 foram comemorados os 500 anos de nascimento do grande matemático que foi Pedro Nunes. Rever a forma de aparecimento do Nônio, entendendo o seu princípio de funcionamento, pode levar-nos a prestar uma justa homenagem a este importante personagem da história da Matemática. Para além da homenagem, esse resgate histórico pode dar-nos, também, uma idéia não apenas do funcionamento deste importante instrumento matemático, que é o paquímetro, como também, ilustrar a íntima ligação entre os desenvolvimentos científicos e a temática social que os cerca. Este resgate histórico propicia, ainda, o desvelar de um interessante modo de ilustrar a problemática educacional da representação das frações.

This text focuses on the invention of the Vernier, a very useful instrument in Engineering and used to measure fractions with great precision on a scale. Invented by Pedro Nunes at the time of the development of the great Portuguese navigations in the XVIth Century, its improvement by Clavius led to the development of the calliper by Vernier. In 2002 the 500th anniversary of the great Portuguese engineer Pedro Nunes was celebrated and his invention of the Vernier is remembered. Understanding the foundations of such a technological tool is a means of justifiably honouring him.. Beyond this honour, this historical study can give us an idea not only about the working of this important instrument but also serve as an illustration of the intimate relationship between scientific concepts and the social fabric around them. Such a historical study may also lead us to an interesting way to illustrate the educational problem of the representation of fractions.

Este texto coloca em uma perspectiva histórica o tratamento algébrico precoce que, costumeiramente, é dedicado ao ensino elementar da Aritmética. Defendendo que um tal tratamento algébrico precoce carrega vários pontos negativos para a formação do educando, o texto discute o "método da falsa posição" como uma alternativa viável para um tal ensino introdutório. Apontando as raízes históricas de tal método, o texto procura evidenciar as origens, aplicações e várias formas de visualizar este procedimento iterativo, desde a manipulação de materiais concretos, passando por aplicações geométricas, até atingir o Cálculo Numérico, como um dos procedimentos iterativos na resolução de equações lineares. Uma das conclusões é que, embora não seja o referido método, em sua forma mais simples, nenhum substitutivo para a resolução algébrica simbólica e moderna de equações e de sistemas de equações, ele se constitui certamente em um precioso trampolim para iniciarmos o salto em direção a um estudo mais formalizado. Particularmente, o método da falsa posição revela-se uma utilíssima ferramenta pedagógica na Educação Matemática, principalmente quando vinculado às suas origens históricas, suas abordagens concretas iniciais e suas associações com a Geometria e a Geometria Analítica.

This text is a historical perspective on the early algebraic approach that is usually applied to the elementary teaching of Arithmetic. By arguing that such an initial algebraic treatment contains several drawbacks for elementary education, the ‘false position method' is discussed and is presented as a viable alternative for such introductory teaching. By pointing out the historical roots of the method, the text tries to make clear several ways of visualising this iterative procedure. This is done by incorporating the use of manipulatives and geometrical applications as well as the use of numerical calculus as an iterative procedure for solving linear equations. Although one conclusion is that in its simpler form this method does not constitute any substitute for the modern symbolic algebraic resolution of equations and linear systems, it certainly represents a valuable springboard to reach a more formalised study. Particularly, the false position method is a very useful pedagogical tool in mathematics education, mainly when it is interwoven with its initial concrete approaches and its associations with geometry and analytical geometry.

Este artigo aborda a importância pedagógica de desvelar-se o mistério contido na aparente subida de um duplo cone. Apresentando, inicialmente, alguns detalhes históricos da criação deste instrumento, passamos à análise da própria origem física da referida ilusão de subida. Exibimos algumas figuras esclarecedoras da situação em foco e discutimos o relacionamento entre o deslocamento dos pontos de contato do instrumento com a rampa e o deslocamento do seu centro de massa. Em seguida procedemos a um equacionamento dos três ângulos principais envolvidos no problema. O texto conclui apontando para o fato de que mesmo um tal equacionamento não dá conta de toda a complexidade do mistério envolvido na subida do duplo cone. Para além das questões analisadas restam ainda outras ainda mais complexas a serem consideradas que apontam para problemas de estabilidade e de utilidade do instrumento.

This article approaches the pedagogical importance of uncovering the mystery involved in the apparent ascendant movement of a double cone. Initially presenting some historical details of the invention of such an instrument, we move onto the analysis of the very physical origin of that referred physical illusion. Some clarifying images are exhibited and the relationship between the motion of the points of contact between the cone and the ramp and the motion of its centre of mass is discussed. In the sequence, the mathematical relationship amongst the main angles involved in that situation is discussed. The text is concluded pointing out to the fact that even such a mathematization is not sufficient to account for all the complexity involved in that physical situation. Beyond the analysed questions rest some other issues even more complex than those to be considered pointing out to the stability problem and to the possible utility of the double cone.

Este texto enfoca a vida e a obra de Bento de Jesus Caraça, matemático e educador português da primeira metade do século XX que muito influenciou a produção em Educação Matemática em língua portuguesa. Tecendo alguns importantes fragmentos biográficos tentamos construir uma visão deste importante personagem na qual ele possa ser contemplado em toda a extensão do significado humanístico de sua vida e do impacto educacional e da atualidade de sua obra, assinalando o centenário do seu nascimento. Importa-nos tornar clara a perfeita sintonia existente entre as suas convicções socialistas e a sua prática como educador. Esta vinculação é apontada como sendo decorrente, principalmente, da sua interpretação dialética da história e da produção do conhecimento.

This text focuses on the life and work of Bento de Jesus Caraça, Portuguese mathematician and educator, who lived during the first half of the XXth Century and much influenced the Mathematics Education field in countries whose spoken language is Portuguese. Marking the centenary of his birth, some of his important biographic excerpts are interwoven and by doing this we attempt to construct a view of this important character. He may be viewed through the humanistic meaning of his life as well as through the educational impact of his work which is still current. It is important for us to make clear the existing coherent relation between his socialist convictions and his practice as an educator. This relationship is shown to be a result mainly of his dialectical interpretation of history and the production of knowledge.

Este artigo aborda a importância das animações e das simulações no ensino da Física. Uma apresentação das afirmações de alguns de seus defensores é contrastada com as argumentações de parte relevante dos seus críticos. O propósito do artigo não é defender o abandono da Informática na Educação, mas sim encorajar uma visão mais crítica e equilibrada dela. Desta forma, são discutidos os fundamentos educacionais e epistemológicos que existem subjacentes às linhas de argumentação apresentadas. A importância dos pressupostos e dos limites de validade das teorias é posta em destaque como uma forma de pôr em relevo aquilo que fundamenta as simulações computacionais utilizadas no ensino da Física. O texto conclui apontando a importância de não se concentrar o ensino da Física exclusivamente na veiculação de informações, mas de ter-se em mente a construção do conhecimento em um contexto mais amplo que englobe os conteúdos e os seus processos de construção.

This article approaches the importance of computer animation and simulations in the teaching of physics. A contrast is made between assertions of its defenders and relevant part of its critic disapproval. The aim of this paper is not to claim the abandonment of informatics in education, but instead to encourage a more critical and well-balanced point of view. Thus, educational and epistemological foundations underlying the argumentation of both sides are discussed. The importance of theoretical assumptions and limits of validity is exhibited as a means to enhancing the foundations of computer simulations utilised in physics teaching. The text concludes pointing out the importance of teaching physics by avoiding to exclusively concentrate on the transmission of information and, instead, bearing in mind the construction of knowledge in a wide context which incorporates as contents as their processes of development.

Neste presente trabalho é feita, inicialmente, uma breve retrospectiva sobre os focos mais comuns dos estudos no campo da resolução de problemas matemáticos. É defendido que há algo mais a ser considerado nessa tarefa. Adotando a concepção de que o ser humano produz "modelos" ou "metáforas" na resolução de problemas matemáticos verbais inseridos em contextos reais é, primeiro, apontada a necessidade de entendimento do significado de modelo mental como sendo uma representação mental de um "todo" em que uma "teia" cognitiva que envolve significados acerca das suas "partes" encontram-se estrutural e coerentemente interligados. Em seguida é explorada a complexidade cognitiva envolvida na resolução de uma situação problemática idealizada na esfera de um modelo mental (ou metáfora) combinatorial. Algumas formas de soluções são exibidas apresentando as "armadilhas" do próprio problema, os aspectos culturais e a subjetividade do resolvedor como três elementos que parecem interferir na produção de um modelo mental bem-sucedido. São apresentadas sugestões para outros estudos.

In this paper a brief survey is initially undertaken about the usual focuses of studies in the field of mathematical problem solving. It is claimed that more has to be considered in this task. By conceiving that human being produces 'models' or 'metaphors' in the resolution of mathematical verbal problems imbedded in real contexts, it is, firstly, pointed out the need for understanding the meaning of 'mental model' as a cognitive structure where meanings related to the 'parts' of a 'whole' are structurally interconnected and, secondly, the cognitive complexity involved in the resolution of a problematic situation which can be idealised within a combinatorial 'mental model' or combinatorial 'metaphor', is explored. Some ways of solutions are exhibited showing the problem 'pitfalls' as well as some aspects of the problem solver's culture and subjectivity as three elements which seem to interfere in the production of a successful 'mental model'. Suggestions for other studies are presented.